MATLAB与线性代数--矩阵的秩
预备知识
如果一个向量线性独立于另外一些向量组，那意味着这一向量不能写成它们的线性组合，简单例子如下：
>> u = [1;-1];
>> v = [3;-4];
>> w = [5,-6];
研究这些向量，我们可以看出：
2u + v = w
因此w线性相关于u和v，此时w可以写成u和v的线性组合。另一例子：
u = [2;0;0];
v = [;-1;0];
w = [0;0;7];
就构成线性独立组，这是因为这些向量中没有一个可以写成另外两个的线性组合。
再看矩阵：
A =0 1 0 20 2 0 4
很明显，矩阵的第二行是第一行的两倍。因此只有一行是独立的，矩阵的秩为1。
>> rank(A)
ans =1
再看一个例子：
B =1 2 33 0 9-1 2 -3
第三列数第一列的三倍，因此，这两列线性相关，另外两列线性独立，到此我们得知有两个显现独立列
>> rank(B)
ans =2
升华
现在我们来看一下带有n个未知量的m个线性方程组：
Ax = b
把b连结在A上构成增广矩阵：
[A b]
解的情况：
- 无解：
rank(A)不等于rank(A b)时方程无解 - 有解：当且仅当
rank(A) = rank(A b)时方程有解。
-
如果矩阵的秩r等于方程未知数的个数，那么方程有唯一解。
-
如果秩
r小于n,那么方程有无数解。
接下来一个例子我们来解方程组：
假设有一个方程组
矩阵的系数是：
我们还有：
因此增广矩阵是：
第一步在MATLAB输入这些矩阵：
>> A = [1 -2 1;3 4 5; -2 1 7];
>> b = [12;20;11];
接着我们创建增广矩阵：
>> C = [A b];
现在我们看一下A的秩：
>> rank(A)
ans =3C的秩：
>> rank(C)
ans =3
由于秩相同，因此解存在，这里有三个未知量，r = 3,所以有唯一解，我们用左除求解：
>> x = A\b
x =4.3958-2.22923.1458
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