【欧拉函数】（数论）
何为欧拉函数：
在1-N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为φ(N).
若在算术基本定理中，N=p1^c1*p2^c2*....pm^cm，则
φ(N)=N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*****(pm-1)/pm=N*ㄇ质数p|N (1-1/p)
模板：求解单个数的欧拉函数计算式：
ll eluer(ll n)
{ll ans=n;for(ll i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}}if(n>1)ans=ans/n*(n-1);return ans;
}关于欧拉函数的性质：
1.任意n>1，1-n中与n互质的数的和为 n* φ(N) /2;
2.若 a,b互质 ，则φ(ab)=φ(a)*φ(b);
积性函数：若a，b互质时，有f(ab)=f(a)*f(b),那么称函数f为积性函数。
3.若f是积性函数，在算术借本定理中，n=∏(i=1-->m)pi^ci,则 f(n)=∏(i=1-->m)f(pi^ci);
4.若p|n且p^2| n ,则φ(n)=φ(n/p)*p;
5.若p|n但 p^2 |/ n, 则φ(n)=φ(n/p)*(p-1)
6.∑d|n φ(d) = n
以上就是欧拉函数的性质，下面看一些例题吧，（毕竟光说不练假把式！）
question1:
可见的点
在一个平面直角坐标系的第一象限内，如果一个点(x,y)与原点（0,0）的连线中没有通过其他任何点，则称该点在原点处是可见的。
例如，点(4,2)就是不可见的，因为它与原点的连线会通过点(2,1)。
部分可见点与原点的连线如下图所示：
编写一个程序，计算给定整数N的情况下，满足0≤x，y≤N0≤x，y≤N的可见点（x，y）的数量（可见点不包括原点）。
输入格式
第一行包含整数C，表示共有C组测试数据。
每组测试数据占一行，包含一个整数N。
输出格式
每组测试数据的输出占据一行。
应包括：测试数据的编号（从1开始），该组测试数据对应的N以及可见点的数量。
同行数据之间用空格隔开。
数据范围
1≤N,C≤10001≤N,C≤1000
输入样例：
4
2
4
5
231
输出样例：
1 2 5
2 4 13
3 5 21
4 231 32549
解题报告：第一眼的思路就是双重循环去求解gcd为1的对数，确实是可以实现的，但是会超时，所以应该使用欧拉函数，很明显可以看出来（1，1） （1，0），（0，1） 这三个点是一定会看到的，那么剩下的就是需要咱们去看的了，这个时候咱们可以只求解y=x一侧的点对数目，因为他们是对称的，当跑到横坐标为x的时候，和这个横坐标gcd等于1的数目不就是x的欧拉函数值吗，所以就可以将双重for降到一重，最后的欧拉函数值累加后，乘2 + 3，就是最后的答案。
ac代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;const int maxn=1100;
int phi[maxn];void eluer()
{for(int i=2;i<maxn;i++){if(!phi[i]){for(int j=i;j<maxn;j+=i){if(!phi[j]) phi[j]=j;phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}}}
}int main()
{int t,n;eluer();cin>>t;int kase=0;while(t--){int ans=0;cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++)ans+=2*phi[i];ans+=3;cout<<++kase<<" "<<n<<" ";if(ans==0)cout<<"0"<<endl;elsecout<<ans<<endl;} return 0;
}
question2：
GCD
The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.
Input
The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.
Output
For each test case,output the answer on a single line.
Sample Input
3 1 1 10 2 10000 72
Sample Output
1 6 260
解题报告：看了几个题解，总觉得没有把这道题目的精髓给讲明白，后来自己思考了好久，终于算是有些头绪了，给定n,m,要求解的是在1-n范围内寻找某一个数x，gcd(x,n) >= m. 队友说是欧拉函数，（哭泣，欧拉函数到底在什么时候去使用，还需要去继续研究），然后知道了使用欧拉函数，但是不知道应该去怎么使用啊，后来看了一下直系学长的博客，觉得讲的不错，但是还不够细腻。决定自己写一下：
首先除了n的因子外的数和n的gcd肯定都是1，所以符合题意的x肯定是n的某个因子的倍数，所以咱们去寻找一下n的所有的因子，假设存在一个因子p >= m ,那么咱们就去求解一下 （n/p）的欧拉函数值是多少，累加一下。（至于为什么要求（n/p）的欧拉函数 这是为了解决”冲突“ 对于n的因子p和一个与（n/p）不互素的k k*p就会变成n的其他因子或其他因子的倍数 这里需要仔细想想）
ac代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;ll eluer(ll n)
{ll ans=n;for(ll i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}}if(n>1)ans=ans/n*(n-1);return ans;
}int main()
{int n,m,t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&n,&m);ll ans=0;for(int i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0){if(n/i>=m&&i*i!=n)ans+=eluer(i);if(i>=m)ans+=eluer(n/i);}}printf("%lld\n",ans);}
}
question3：
上帝与集合的正确用法
Description
根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：
Input
接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值
Output
T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值
Sample Input
3
2
3
6
Sample Output
0
1
4
解题报告：就是一道看起来很玄乎的题目，因为2的幂次是没有结束的时候，但是咱们可以通过递归和欧拉降幂来将模数变为1，那么所有的数在模后就是0，这就是递归出口，要知道欧拉降幂的原则：
ac代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;ll p;
int t;ll phi(ll x)
{ll res=x;for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){res=res/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)res=res/x*(x-1);return res;
}
ll ksm(ll a,ll b,ll c)
{ll res=1;while(b){if(b&1){res=(res*a)%c;}a=(a*a)%c;b>>=1;}return res;
}
ll slove(ll x)
{if(x==1)return 0;return ksm(2,slove(phi(x))+phi(x),x);
}
int main()
{cin>>t;while(t--){cin>>p;cout<<slove(p)<<endl; }
}
以上就是欧拉函数比较常用的几个应用，以后会慢慢补更多的！
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