利用Z变换求解线性常系数差分方程-阿南达文事网

利用Z变换求解线性常系数差分方程

数字信号及其处理卢光跃黄庆东包志强编著
求解线性常系数差分方程有三种方法，经典法，递推解法，Z变换法，今天我们来学习Z变换求解线性常系数差分方程

利用Z变换求解线性常系数差分方程的过程
1.对等号两边做单边或者双边Z变换，如果激励x(n)是因果信号，也就是说它的初始条件为0，这时我们对等号两边做双边Z变换，如果激励x(n)是非因果信号，也就是说它的初始条件不为0，我们对等号两边做单边Z变换
2.将变换后的式子里的Y(z)提取出来放到左边，其余的全部放到等号右边
3.对Y(z)做逆Z变换就得到原线性常系数差分方程的解了

注：一个线性常系数差分方程所描述的系统不一定是LTI系统，但它可以用LTI系统描述

书上63页下是N阶线性常系数差分方程的表达式（也就是下幅图片的第一行），我们利用59页序列移位的性质分别对等号左右两边做双边Z变换，并将Y(z)和X(z)分别从求和符号里面提取出来，写成Y(z)=因数*X(z)形式，最后对Y(z)做逆变换就可以了。

我们也可以对其左右两端做单边Z变换，只不过最后的结果稍微复杂一些。

问：可不可以对一边做双边Z变换，而对另一边做单边Z变换?
答案是可以的。假设某一系统的激励是非因果信号x(n)，所以输出序列y(n)也是非因果的，所以对含有y(n)的一端做单边Z变换，如果这个非因果信号在n<0时值为0，我们可以把它看成一个因果信号，对含有x(n)的一端做双边Z变换。

什么是暂态解(暂态响应)和稳态解(稳定响应)？
暂态解：就是输入信号为非因果时利用单边Z变换求得的y(n)叫暂态解
稳态解：就是输入信号为因果时利用双边Z变换求得的y(n)叫稳态解
题目让你求某一个线性常系数差分方程的暂态解时，你只需要对等号左右两端做单边Z变换就可以了

例题1:书上64页下面，利用Z变换求解如下差分方程，y(n)-1/2y(n-1)=u(n)，y(-1)=1
解析：这道题给了初始条件，所以根据上述结论我们对等号左右两边做单边Z变换，u(n)是单位阶跃序列，它的Z变换是z/(z-1)，剩下的你自己看，运算的时候要细心。书上最后还得出零状态响应和零输入响应，这都是额外加进去的，如果题目没有问求零状态或零输入响应你可以不求。

例题2:y(n)=by(n-1)+x(n)，其中x(n)是a的n次方乘以u(n)，y(-1)=2,求暂态响应
解析：题目让求暂态响应，所以我们对等号左右两边做单边Z变换，变换后的结果里面含有Y(z)和X(z)，X(z)就是x(n)的Z变换，算出x(n)的Z变换后带入原式里，就得到了Y(z)的表达式，令Y(z)的分母为0就得到它的极点是z=a和z=b，因为收敛域和ab的大小关系不知道，所以我们假设这是个因果系统(为什么不假设为非因果系统?因为现实生活中不存在非因果系统，仅仅是书面上的存在形式)，所以z的收敛域就是|z|>max(|a|，|b|)，最后对其做逆Z变换就得到题目让求的暂态响应。