代数余子式之和怎么算
场的一些数学基础(向量分析基础)：
这里我不得不提及Oliver Heaviside(自学成才的怪杰，也是向量分析的创始人之一)。
1、Logic can be patient for it is eternal.
2、Mathematics is of two kinds, Rigorous and Physical. The former is Narrow: the latter Bold and Broad. To have to stop to formulate rigorous demonstrations would put a stop to most physico-mathematical inquiries. Am I to refuse to eat because I do not fully understand the mechanism of digestion? [1]
- 向量分析是在物理学中叫法，在数学里面古典微分几何包括了向量分析的内容。
- 当然，在Heaviside之前就已经有了矢量代数的部分内容了，至少点乘、叉乘已经有了。Heaviside的贡献是引入了算子这个概念。
简介：[2]
向量分析是数学的分支，关注向量场的微分和积分，主要在3维欧几里得空间 中。向量分析有时用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。
向量分析从 四元数分析发展而来，由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末提出，大多数符号和术语由吉布斯和Edwin Bidwell Wilson在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种代数几何的方法，它利用可以推广的外积。
向量基础：
向量分析中的基本代数(非微分)运算被称为矢量代数。
如果学过线性代数的话，你会认为我在下文中提到的因果关系是很粗糙的，连向量空间的概念都没有就引出了基向量的概念，连基向量都没有说清楚就提到了正交的概念。但是，我总不可能直接跟初学者说这些概念吧，所以我先用直观一点的说法来解释吧。
更严格的说明我以后有时间再看看能不能另开一篇文章吧。
简介：(不严格)
在高中我们知道的向量是有长度、方向的量(高考应该不会特别强调基向量的概念吧)，但是这种符合直观的解释视角很狭窄。很难把眼光放到更高的维度上，即使是在三维的情况中，也会对接受向量形式的物理公式有很大阻碍。 所以这里我们采用基向量的方式理解。
首先，定义向量先要要选取坐标系，这里以直角坐标系为例进行说明。 然后，引入基向量的概念，比如
比如，在三维情形可以取分量为 。
是用来做区分一般的向量，表明这是单位向量，这里代表基向量是特殊情况。与之相对的， 表示任意长度的向量。
由于直角坐标系的基向量是正交的(可以认为是垂直的推广)，所以可以约定：
伪矢量；二重向量：
标量是零维的几何量，向量是一维的有向几何量，类似的，有二维的有向几何量。几何代数中的外代数(exterior algebra)采用了这个一般化的观点定义了 二重向量(bivector)。二重向量即为二维的有向几何量：令 a 与 b 为向量，它们的外积 a ∧ b 即为一个二重向量，代表由 a 与 b 围成的平行四边形面积(有向面积)，其方向为 a 到 b 的时针方向。所以，外积是反对称的， a ∧ b 的方向恰与 b ∧ a 相反。另外， a ∧ a 是一个“零二重向量”。
德国数学家赫尔曼·格拉斯曼于1844年的《线性外代数》论文中，将二重向量以二向量外积的方式介绍出来。同时期，爱尔兰数学家威廉·哈密顿于1843年发表了四元数。1888年，英国数学家威廉·金顿·克利福德结合二者并发表了克利福德代数，二重向量才被完整的了解，而成为今日的面貌。
以下将一直考虑右手系。
提前说明：
；之后要提到的算子本身是被我们当成了一种形式向量(场)，然后参与微分运算的，目的就是为了简化书写。对，真的只能简化书写，算起来依然很复杂，毕竟最后都是要计算的。
- 标量三重积与向量三重积：[3]
；
；- 由此可知， ；
- 显然， ;
- 为什么一般来说 ?
拉格朗日恒等式：(向量模长的联系) [4]
请注意，像定比分点公式、判断共线或共面之类的细枝末节我就不介绍了，即使可能存在高观点的证明方法。
位置向量(三维)：
；为了方便起见，我之后只会在证明或定义一些概念的时候才写出基向量，不然都写作
这样的形式。还有，虽然我是物理系的，我还是更喜欢说向量，而不是矢量。- 关于基向量为什么写成 ，可能跟赫尔曼·格拉斯曼的写法有关，也可能是因为之后的张量需要i、j这样的角标，我没有明确的答案，只能猜一下了；(若知道答案，欢迎在评论区指正)
- 一般位置矢量的正方向是从场点指向源点的，也就是场点一般是起点，源点一般是终点；
无限小位移向量：
；刚刚的位置向量实际上是将矢量起点选为原点才行的，如果起点不是原点，那就要考虑两个具有不同位置矢量的点的距离关系。
这就引出了间距向量：
。下接：力学与电磁学基础(力场&算子)；
接下来都是私货(拓展)：
拓展：
四元数简介：
挖坑中。。。
张量简介：
在引入张量指标后，我们可以直接用这个证明
；我们在三维情况中使用的外积是不能够推广到更高的维度上的。对此，有着名为几何代数的领域在研究这个问题(当然也不止这个问题)。
科普文章：
转载：原文章链接：关于几何代数（Geometric Algebra）； 几何代数：目前看来物理学最好的数学语言。
对于经典几何，有一类以统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系的克利福德乘法；表示几何变换的旋量或张量；表示几何量的括号。
数学不只是物理学的工具：尽管现有任何学科的理论都不同程度地也必然地依赖于实验，但是可以通过其中物理量内禀的数学性质，深入发掘其中物理量之间的数学关系，使现有理论尽可能地降低对实验的依赖程度。这就是狄拉克、杨振宁早就强调的理论的“数学美”。这样的“数学美”毫不抽象，毫不违背物理学家朴素的唯物主义观点。只不过，我们过去老是把“数学看成物理学的工具”，忽视物理量内禀的数学性质及其相互的数学联系，没有看到这样的数学联系本质上也是物理联系，把数学排斥在“背靠大自然”这一物理学原则之外，更没有把降低现有理论对实验的依赖程度看成是件重要的科学任务。数学美不是简单的美，而是理论达到逻辑上更加简约的程度。这就是我们经常听到理论elegant这个词的重大科学意义。1908年，Caratheodory对热力学第二定律的深化就是一例。
参考
- ^
- ^向量分析
- ^《电动力学导论》格里菲斯
- ^拉格朗日恒等式
代数余子式之和怎么算
场的一些数学基础(向量分析基础)：
这里我不得不提及Oliver Heaviside(自学成才的怪杰，也是向量分析的创始人之一)。
1、Logic can be patient for it is eternal.
2、Mathematics is of two kinds, Rigorous and Physical. The former is Narrow: the latter Bold and Broad. To have to stop to formulate rigorous demonstrations would put a stop to most physico-mathematical inquiries. Am I to refuse to eat because I do not fully understand the mechanism of digestion? [1]
- 向量分析是在物理学中叫法，在数学里面古典微分几何包括了向量分析的内容。
- 当然，在Heaviside之前就已经有了矢量代数的部分内容了，至少点乘、叉乘已经有了。Heaviside的贡献是引入了算子这个概念。
简介：[2]
向量分析是数学的分支，关注向量场的微分和积分，主要在3维欧几里得空间 中。向量分析有时用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。
向量分析从 四元数分析发展而来，由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末提出，大多数符号和术语由吉布斯和Edwin Bidwell Wilson在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种代数几何的方法，它利用可以推广的外积。
向量基础：
向量分析中的基本代数(非微分)运算被称为矢量代数。
如果学过线性代数的话，你会认为我在下文中提到的因果关系是很粗糙的，连向量空间的概念都没有就引出了基向量的概念，连基向量都没有说清楚就提到了正交的概念。但是，我总不可能直接跟初学者说这些概念吧，所以我先用直观一点的说法来解释吧。
更严格的说明我以后有时间再看看能不能另开一篇文章吧。
简介：(不严格)
在高中我们知道的向量是有长度、方向的量(高考应该不会特别强调基向量的概念吧)，但是这种符合直观的解释视角很狭窄。很难把眼光放到更高的维度上，即使是在三维的情况中，也会对接受向量形式的物理公式有很大阻碍。 所以这里我们采用基向量的方式理解。
首先，定义向量先要要选取坐标系，这里以直角坐标系为例进行说明。 然后，引入基向量的概念，比如
比如，在三维情形可以取分量为 。
是用来做区分一般的向量，表明这是单位向量，这里代表基向量是特殊情况。与之相对的， 表示任意长度的向量。
由于直角坐标系的基向量是正交的(可以认为是垂直的推广)，所以可以约定：
伪矢量；二重向量：
标量是零维的几何量，向量是一维的有向几何量，类似的，有二维的有向几何量。几何代数中的外代数(exterior algebra)采用了这个一般化的观点定义了 二重向量(bivector)。二重向量即为二维的有向几何量：令 a 与 b 为向量，它们的外积 a ∧ b 即为一个二重向量，代表由 a 与 b 围成的平行四边形面积(有向面积)，其方向为 a 到 b 的时针方向。所以，外积是反对称的， a ∧ b 的方向恰与 b ∧ a 相反。另外， a ∧ a 是一个“零二重向量”。
德国数学家赫尔曼·格拉斯曼于1844年的《线性外代数》论文中，将二重向量以二向量外积的方式介绍出来。同时期，爱尔兰数学家威廉·哈密顿于1843年发表了四元数。1888年，英国数学家威廉·金顿·克利福德结合二者并发表了克利福德代数，二重向量才被完整的了解，而成为今日的面貌。
以下将一直考虑右手系。
提前说明：
；之后要提到的算子本身是被我们当成了一种形式向量(场)，然后参与微分运算的，目的就是为了简化书写。对，真的只能简化书写，算起来依然很复杂，毕竟最后都是要计算的。
- 标量三重积与向量三重积：[3]
；
；- 由此可知， ；
- 显然， ;
- 为什么一般来说 ?
拉格朗日恒等式：(向量模长的联系) [4]
请注意，像定比分点公式、判断共线或共面之类的细枝末节我就不介绍了，即使可能存在高观点的证明方法。
位置向量(三维)：
；为了方便起见，我之后只会在证明或定义一些概念的时候才写出基向量，不然都写作
这样的形式。还有，虽然我是物理系的，我还是更喜欢说向量，而不是矢量。- 关于基向量为什么写成 ，可能跟赫尔曼·格拉斯曼的写法有关，也可能是因为之后的张量需要i、j这样的角标，我没有明确的答案，只能猜一下了；(若知道答案，欢迎在评论区指正)
- 一般位置矢量的正方向是从场点指向源点的，也就是场点一般是起点，源点一般是终点；
无限小位移向量：
；刚刚的位置向量实际上是将矢量起点选为原点才行的，如果起点不是原点，那就要考虑两个具有不同位置矢量的点的距离关系。
这就引出了间距向量：
。下接：力学与电磁学基础(力场&算子)；
接下来都是私货(拓展)：
拓展：
四元数简介：
挖坑中。。。
张量简介：
在引入张量指标后，我们可以直接用这个证明
；我们在三维情况中使用的外积是不能够推广到更高的维度上的。对此，有着名为几何代数的领域在研究这个问题(当然也不止这个问题)。
科普文章：
转载：原文章链接：关于几何代数（Geometric Algebra）； 几何代数：目前看来物理学最好的数学语言。
对于经典几何，有一类以统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系的克利福德乘法；表示几何变换的旋量或张量；表示几何量的括号。
数学不只是物理学的工具：尽管现有任何学科的理论都不同程度地也必然地依赖于实验，但是可以通过其中物理量内禀的数学性质，深入发掘其中物理量之间的数学关系，使现有理论尽可能地降低对实验的依赖程度。这就是狄拉克、杨振宁早就强调的理论的“数学美”。这样的“数学美”毫不抽象，毫不违背物理学家朴素的唯物主义观点。只不过，我们过去老是把“数学看成物理学的工具”，忽视物理量内禀的数学性质及其相互的数学联系，没有看到这样的数学联系本质上也是物理联系，把数学排斥在“背靠大自然”这一物理学原则之外，更没有把降低现有理论对实验的依赖程度看成是件重要的科学任务。数学美不是简单的美，而是理论达到逻辑上更加简约的程度。这就是我们经常听到理论elegant这个词的重大科学意义。1908年，Caratheodory对热力学第二定律的深化就是一例。
参考
- ^
- ^向量分析
- ^《电动力学导论》格里菲斯
- ^拉格朗日恒等式
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