【系统分析师】二、经济管理和应用数学（二）
2.7 概率统计应用
概率论和数理统计作为一门学科，主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析，以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的判断和预测。
2.7.1 古典概率与应用
- 必然现象：在一定条件下必然发生，这类现象是可以事前预言的，其结果是确定的；
- 随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生，这类现象在观察之前无法预知它的准确结果。
1、事件
可以在相同的条件下重复进行，并且每次实验的结果是事先不可预知的试验称作随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。随机试验中每一个可能的试验结果称为样本点，样本点的全体称为样本空间。
2、概率
在不变的条件下，重复做n次试验，设 n次试验中事件A发生m次。如果当n很大时，频率m/n稳定在一数值p的附近摆动，而且随着n的增大，这种摆动的幅度越小，则称数值p为事件A的概率，记作P(A)=p。
2.7.2 随机变量及其分布
2.7.3 随机变量的数字特征
分布函数可以完整的描述随机变量的统计规律，但在实际问题中，要求出分布函数并非易事。在许多常见的分布中都有一些参数，参数确定则分布函数随之确定。所谓数字特征，是指与随机变量分布相关的一些特征参数，它们能够反映这些分布在某些方便的重要特征，并且决定这些分布中的参数。
**数学期望：**在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的数学期望，是指试验中每次可能结果乘以其结果概率的总和。数学期望反映了随机变量的取值中心。
**方差：**方差是每一个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。方差反映了随机变量取值分散的程度。方差越小取值越集中；方差越大取值越分散。
2.7.4 常用分布
2.7.5 常用统计分析方法
数理统计以概率论为理论基础，收集、整理试验或观察得到的数据，将获得的数据进行分析和推理，从而对研究对象的客观规律作出合理的估计和判断。
数理统计就是应用概率论的理论，通过样本来了解和判断总体的统计特性的科学方法。
1、常用统计量
- 样本均值：样本观察值的平均值
- 样本方差：构成样本的随机变量对样本均值之差的平均值
- 样本标准差：样本标准差等于样本方差开平方
- 样本k阶原点矩：样本数据的k次方后的平均值（一阶即为样本均值）
- 样本k阶中心矩：构成样本的随机变量对样本均值之差k次方的平均值（二阶即为样本方差，二阶中心距表现在均值附近波动的大小，三阶中心距表现为一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度）
- 次序统计量：将观测量按从小到大的重新排列得到的样本分量，称为样本的次序统计量
2、参数估计
参数估计是根据样本所提供的信息，对总体分布中含有的未知常数（称其为参数）进行估计。当取得一个样本值时，就以相应的统计量作为总体参数的估计值。最常估计的参数是总体的数学期望和方差。
根据实际问题的需要，参数估计的形式又分为点估计和区间估计。
- 点估计：估计值是一个数，表现为实数轴上的一个点，故这种做法通常称为参数的点估计或者定值估计。
- 区间估计：用数轴上的一个数据区间（a，b）表示总体参数的可能范围。区间估计是从点估计值和抽样标准出发，按给定的概率值建立包含待估计参数的区间，其中这个给定的概率值称为置信度或置信水平，这个建立起来的包含待估计函数的区间称为置信区间。置信区间是在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间的误差范围。
3、假设检验
假设检验是根据原资料作出一个总体指标是否等于某一个数值，某一随机变量是否服从某种概率分布的假设，然后利用样本资料采用一定的统计方法计算出有关检验的统计量，依据一定的概率原则来判断估计数值与总体数值（或者估计分布与实际分布）是否存在显著差异，是否应当接受原假设选择的一种检验方法。
用样本指标估计总体指标，其结论有的完全可靠，有的只有不同程度的可靠性，需要进一步加以检验和证实。
4、回归分析
回归分析是处理两个及两个以上变量之间相关关系的一种基本方法。在现实世界中变量之间的关系可以分为两类：一类是变量之间有确定性关系，也就是函数关系；另一类是变量之间有一定的关系，由于错综复杂的原因或者不可避免的误差等原因，这种关系无法用定性的模型描述。
根据研究目的，常把具有相关关系的变量区分为因变量和自变量，这时因变量被看作是随机变量，而自变量可能是随机变量，也可能是可以人为控制或测量的非随机变量（一般变量）。
回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
5、方差分析
一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又相互依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。
方差分析的基本思想是：通过分析不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果的影响力大小。
6、正交试验法
在开发和科研中，为了研制新产品，改进开发技术，需要做许多的多因素试验。在方差分析中，对于一个或两个因素的试验，可以对不同因素的所有可能的水平组合做试验，这叫做全面试验。但是在实际中有时会遇到试验次数太多的问题，设计全面的试验往往耗时、费力，从而很难做到。
正交试验法就是研究与处理多因素试验的一种有效方法。正交试验法利用正交表来对实验进行整体设计、综合比较、统计分析，实现通过少数的试验次数找到较好的生产条件，以达到最高生产工艺效果。正交表具有两大优越性：均衡分散、整齐可比。
2.8 图论应用
在现实世界中，有很多现象、事物、状态都可以用图形来描述，许多学科都以图论作为工作来研究和解决问题。
2.8.1 最小生成树
在连通的带权图的所有生成树中，权值和最小的那棵生成树（包含图中所有顶点的树），称作最小生成树。求带权连通无向图的最小生成树的算法有普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。
2.8.2 最短路径
带权图的最短路径问题即求两个顶点间长度最短的路径。其中路径长度不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。路径长度的具体含义取决于边上权值所代表的意义。
2.8.3 网络与最大流量
最大流量问题是一个特殊的线性规划问题。（参考2.11.2章节）
2.9 组合分析
组合分析师离散数学中的一个重要组成部分，它研究的对象是排列和组合问题。在排列和组合问题中，充分体现了分类、回溯的数学思想。
2.9.1 排列和组合
组合分析的研究对象是排列和组合问题，而这些问题的研究都是以计数基本原理为前提的。
1、计数原理基础
- 乘法原理
- 加法原理
2、排列
2.9.2 抽屉原理和容斥原理
- 抽屉原理：又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先由德国科学家狭利克雷（Dirichlet）明确提出，因此也称为狭利克雷原理。13个人中至少有人是在同一个月过生日；把10个程序员安排到3个项目组中，则至少有一个项目组中有4个程序员…这些是抽屉原理在生活和工作中的简单应用。
- 容斥原理：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再将计数时重复的数据排除出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2.10 算法的选择与应用
简单的说，算法就是为了解决某个具体问题而设计的步骤和方法。从程序设计的角度看，算法由有限条可以执行的、有确定结果的指令组成，这些指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。
在实际工作中，可根据计算机速度与主存储器（通常简称为“内存”或“主存”）状况综合考虑，采用“以时间换空间”或“以空间换时间”的策略。
2.10.1 非数值算法
非数值算法用于对非数值信息进行查找、排序等。
2.10.2 数值算法
数值算法用于解决一般数学解析方法难以解决的问题。如求超越方程的根、求定积分、解微分方程等。
2.11 运筹方法
运筹学是近代应用数学的一个分支，主要将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运行问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决，前者提供模型，后者提供理论和方法。运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得到各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：
- 确定目标
- 制定方案
- 建立模型
- 制定解法
2.11.1 网络计划技术
用网络分析的方法编制的计划称为网络计划，它是一种编制大型工程项目进度计划的有效方法。
1、关键路径
在现代管理中，人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，一项工程常被分为多个小的子工程，这些子工程称为活动。在有向图中，若以顶点表示活动，弧表示活动之间的先后关系，这样的图简称为AOV（Activity On Vertex）网；若以顶点表示事件，弧表示活动，权表示完成该活动所需的时间（称为活动历时或持续时间），这样的图称为AOE（Activity On Edge）网。
因在AOE网中的某些活动可以并行地进行，所以完成工程的最少时间是从开始顶点到解决顶点的最长路径长度，称为从开始顶点到结束顶点的最长路径为关键路径（临界路径），关键路径上的活动称为关键活动。
2、网络优化
得到关键路径后，通常根据计划的要求，综合考虑进度、资源、费用等目标，即进行网络优化，确定最优的计划方案。
- 时间优化
- 时间-资源优化
- 时间-费用优化
2.11.2 线性规划
线性规划是研究在有限资源条件下，如何有效地使用这些资源达到预定目标的数学方法。用数学的语言来说，也就是在一组约束条件下寻找目标函数的极值问题。
2.11.3 决策论
决策就是决定的意思，管理就是决策，也就是说管理的核心是决策。
2.11.4 对策论
对策论也称为竞赛论或博弈论，是研究具有竞争（或斗争）性质现象的数学理论和方法。具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。这类行为中，参加竞争的各方各自具有不同德目标和利益。为了达到各自德目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。
对策论就是研究对策行为中竞争各方是否存在最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。
2.11.5 排队论
排队论也称为随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究得到这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
2.11.6 存贮论
对工厂或者商店，在某个时间究竟存贮多少原料或商品，才是最合适的？专门研究这类有关存贮问题的科学构成了运筹学的一个分支，叫做存贮论或库存理论。
物质的存储按其目的不同可以分为三种：
- 生产存贮：企业为了维持正常生产而储备的原材料或半成品；
- 产品存贮：企业为了满足其他部门的需要而存储的半成品或成品；
- 供销存贮：存贮在供销部门的各种物资，直接满足客户的需求。
因此存贮论中研究的主要问题可以概括为：何时订货（补充存贮），每次订多少货（补充多少库存）这两个问题。
2.12 数学建模
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数据建模是一种数学的思考方法，是运行数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立近似刻画并解决实际问题的模型的一种强有力的数学手段。
数学建模的过程：
- 模型准备
- 模型假设
- 模型建立
- 模型求解
- 模型分析
- 模型检验
- 模型应用
数学建模的方法：
- 直接分析法
- 类比法
- 数据分析法
- 构想法
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